线性注意力的线性代数前置知识

线性注意力这一路的推导，卡人的地方几乎都不是注意力，而是线性代数。DeltaNet 的状态更新写成 $\mathbf{S}_t = \mathbf{S}_{t-1}(\mathbf{I} - \beta_t \bm{k}_t \bm{k}_t^{\intercal}) + \beta_t \bm{v}_t \bm{k}_t^{\intercal}$，右乘的那个 $\mathbf{I} - \beta_t\bm{k}_t\bm{k}_t^{\intercal}$ 被称为广义 Householder 变换；chunkwise 形式里的 UT 变换、WY 表示、$\mathbf{T}$ 矩阵，全都是这个秩一修正在一个 chunk 内累乘之后的产物。不先把 $\mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal}$ 这个原型搞透，后面每一步都只能靠记公式。

本系列按「用到什么补什么」的顺序拆前置知识，第一部分是 Householder 矩阵：定义、对称性、正交性、单位向量条件为什么不能省、几何意义、以及完整的特征值计算。全部结论都给证明，并给一段可复跑的数值验证。

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1. Householder 矩阵

1.1 定义

设 $\bm{u} \in \mathbb{R}^n$ 且 $\bm{u}^{\intercal}\bm{u} = 1$（即 $\|\bm{u}\|_2 = 1$），定义

$$\mathbf{H} = \mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal} \in \mathbb{R}^{n \times n}$$

这里 $\bm{u}\bm{u}^{\intercal}$ 是秩一的 $n \times n$ 矩阵（外积），$\mathbf{H}$ 是单位矩阵的秩一修正。

两点必须一开始就说清楚：

• $\mathbf{H}$ 只依赖 $\bm{u}$ 的方向，不依赖朝向：把 $\bm{u}$ 换成 $-\bm{u}$，$(-\bm{u})(-\bm{u})^{\intercal} = \bm{u}\bm{u}^{\intercal}$，$\mathbf{H}$ 不变。所以一条过原点的直线（$\bm{u}$ 的张成空间）唯一确定一个 $\mathbf{H}$。
• $\bm{u}$ 是反射超平面的法向量：$\mathbf{H}$ 实现的是关于超平面 $\{\bm{x} : \bm{u}^{\intercal}\bm{x} = 0\}$ 的镜面反射，$\bm{u}$ 垂直于这张镜子而不是躺在镜子里。这一点在 §1.5 会被几何证明。

一个立即可用的展开式（后面反复用到）：

$$\mathbf{H}\bm{x} = \bm{x} - 2\bm{u}(\bm{u}^{\intercal}\bm{x}) = \bm{x} - 2(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})\,\bm{u}$$

注意 $\bm{u}^{\intercal}\bm{x}$ 是标量。这说明实现上永远不要显式构造 $\mathbf{H}$：一次内积加一次 axpy，$O(n)$ 就能算完 $\mathbf{H}\bm{x}$，而显式矩阵乘是 $O(n^2)$。DeltaNet kernel 里对 $\mathbf{I} - \beta\bm{k}\bm{k}^{\intercal}$ 的处理沿用同一思路。

1.1.1 一个数字算例：矩阵形式是怎么被「提」出来的

定义式 $\mathbf{H} = \mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal}$ 常被当成天降公式，其实它只是把「反射两步走」这句话提取公因子的结果。取 $n = 2$、$\bm{u} = \bm{e}_1 = [1, 0]^{\intercal}$、$\bm{x} = [3, 2]^{\intercal}$ 走一遍：

图分三层，对应三个视角：

• (a) 几何：$\bm{u} = \bm{e}_1$ 时镜面就是 $x_2$ 轴。从 $\bm{x}$ 出发沿 $-\bm{u}$ 方向走一步 $-(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})\bm{u}$ 落到镜面上（此时第一坐标归零），再走同样的一步就到 $\bm{x}'$。两步等长，这正是系数 2 的来源。
• (b) 数字验证：$\bm{u}^{\intercal}\bm{x} = 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 = 3$，于是 $\bm{x} - 2(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})\bm{u} = [3,2]^{\intercal} - [6,0]^{\intercal} = [-3,2]^{\intercal}$；另一条路先建矩阵 $\mathbf{H} = \mathbf{I} - 2\bm{e}_1\bm{e}_1^{\intercal} = \operatorname{diag}(-1, 1)$，再算 $\mathbf{H}\bm{x} = [-3,2]^{\intercal}$。两条路结果相同。
• © 推导：唯一需要的一步是 $\bm{u}^{\intercal}\bm{x}$ 是标量，标量与向量相乘可换序，所以 $(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})\bm{u} = \bm{u}(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})$。换序之后 $\bm{x}$ 变成右端公因子，反着用分配律提出来：

$$\bm{x}' = \bm{x} - 2(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})\bm{u} = \bm{x} - 2\bm{u}(\bm{u}^{\intercal}\bm{x}) = \big(\mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal}\big)\bm{x} = \mathbf{H}\bm{x}$$

换序是全部的技巧所在：$(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})\bm{u}$ 里 $\bm{x}$ 被夹在中间提不出来，写成 $\bm{u}(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})$ 后 $\bm{u}\bm{u}^{\intercal}$ 自然聚成一个矩阵。这个算例里 $\mathbf{H} = \operatorname{diag}(-1, 1)$ 顺带把 §1.6 的结论提前摆了出来：谱为 $\{-1, +1\}$、$\det = -1$、$\operatorname{tr} = 0 = n - 2$。一般的 $\bm{u}$ 只是把这个对角矩阵旋转到 $\bm{u}$ 指向的坐标系里而已。

1.2 对称性证明

$$\mathbf{H}^{\intercal} = (\mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal})^{\intercal} = \mathbf{I}^{\intercal} - 2(\bm{u}\bm{u}^{\intercal})^{\intercal} = \mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal} = \mathbf{H} \qquad \blacksquare$$

关键一步是 $(\bm{u}\bm{u}^{\intercal})^{\intercal} = (\bm{u}^{\intercal})^{\intercal}\bm{u}^{\intercal} = \bm{u}\bm{u}^{\intercal}$：外积矩阵天然对称。这一步完全没有用到 $\bm{u}^{\intercal}\bm{u} = 1$，所以对称性对任意 $\bm{v}$ 的 $\mathbf{I} - 2\bm{v}\bm{v}^{\intercal}$ 都成立——这是 §1.4 反例仍然对称、但不再正交的原因。

1.3 正交性证明

由 §1.2 有 $\mathbf{H}^{\intercal}\mathbf{H} = \mathbf{H}^2$，直接展开：

$$\begin{aligned} \mathbf{H}^{\intercal}\mathbf{H} = \mathbf{H}^2 &= (\mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal})(\mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal}) \\ &= \mathbf{I} - 4\bm{u}\bm{u}^{\intercal} + 4\,\bm{u}\bm{u}^{\intercal}\bm{u}\bm{u}^{\intercal} \\ &= \mathbf{I} - 4\bm{u}\bm{u}^{\intercal} + 4\,\bm{u}(\bm{u}^{\intercal}\bm{u})\bm{u}^{\intercal} \\ &= \mathbf{I} - 4\bm{u}\bm{u}^{\intercal} + 4\bm{u}\bm{u}^{\intercal} \\ &= \mathbf{I} \qquad \blacksquare \end{aligned}$$

第三行到第四行是唯一用到 $\bm{u}^{\intercal}\bm{u} = 1$ 的地方：靠结合律把中间的 $\bm{u}^{\intercal}\bm{u}$ 抠成标量 1，两个 $4\bm{u}\bm{u}^{\intercal}$ 才恰好抵消。

推论（对合性）：$\mathbf{H}^2 = \mathbf{I}$ 说明 $\mathbf{H}$ 是对合（involution），于是

$$\mathbf{H}^{-1} = \mathbf{H} = \mathbf{H}^{\intercal}$$

作用两次回到自身——这就是反射的代数签名。对比一下：旋转矩阵也正交，但一般 $\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^{\intercal} \neq \mathbf{R}$，转两次不回原位。「正交 + 对称」两条同时成立的矩阵，本质上只能是若干方向上取 $\pm 1$ 的对角化形式，Householder 是其中最简单的一类（只有一个 $-1$）。

正交性带来两个工程上直接有用的性质：

• 保长度：$\|\mathbf{H}\bm{x}\|^2 = \bm{x}^{\intercal}\mathbf{H}^{\intercal}\mathbf{H}\bm{x} = \bm{x}^{\intercal}\bm{x} = \|\bm{x}\|^2$
• 保内积（保角）：$(\mathbf{H}\bm{x})^{\intercal}(\mathbf{H}\bm{y}) = \bm{x}^{\intercal}\bm{y}$

所以用 Householder 做变换在数值上是完全稳定的：条件数恒为 1，误差不放大。QR 分解选它而不选 Gram-Schmidt，就是这个原因。

1.4 「$\bm{u}$ 必须是单位向量」不可省

把单位化条件去掉，取任意 $\bm{v} \in \mathbb{R}^n$，$\bm{v}^{\intercal}\bm{v} \neq 1$，令 $\mathbf{H}' = \mathbf{I} - 2\bm{v}\bm{v}^{\intercal}$。重做 §1.3 的展开，中间那个 $\bm{v}^{\intercal}\bm{v} = \|\bm{v}\|^2$ 不再是 1：

$$\begin{aligned} (\mathbf{H}')^2 &= \mathbf{I} - 4\bm{v}\bm{v}^{\intercal} + 4\bm{v}(\bm{v}^{\intercal}\bm{v})\bm{v}^{\intercal} \\ &= \mathbf{I} - 4\bm{v}\bm{v}^{\intercal} + 4\|\bm{v}\|^2\bm{v}\bm{v}^{\intercal} \\ &= \mathbf{I} - 4\big(1 - \|\bm{v}\|^2\big)\bm{v}\bm{v}^{\intercal} \;\neq\; \mathbf{I} \end{aligned}$$

只要 $\bm{v} \neq \bm{0}$ 且 $\|\bm{v}\| \neq 1$，残差项 $-4(1 - \|\bm{v}\|^2)\bm{v}\bm{v}^{\intercal}$ 非零，正交性与对合性同时失效。数值上取 $\|\bm{v}\|^2 = 4.443$（$n = 4$）时，$\max|(\mathbf{H}')^2 - \mathbf{I}| = 4.43$，与公式预测一致（见 §1.7 验证代码）。

结论要说准：破坏的是正交性，不是对称性。$\mathbf{H}'$ 依然对称（§1.2 没用到归一化），它在 $\bm{v}$ 方向上的特征值变成了

$$\mathbf{H}'\bm{v} = \bm{v} - 2\bm{v}(\bm{v}^{\intercal}\bm{v}) = \big(1 - 2\|\bm{v}\|^2\big)\bm{v}$$

即 $\lambda = 1 - 2\|\bm{v}\|^2$，只有 $\|\bm{v}\|^2 = 1$ 时它才等于 $-1$。$\|\bm{v}\| < 1$ 时 $\lambda \in (-1, 1)$，变换在该方向上压缩；$\|\bm{v}\| > 1$ 时 $|\lambda| > 1$，放大（上例 $\lambda = -7.886$，$\det \mathbf{H}' = -7.886$）。

$|\bm{v}|^2$	$\bm{v}$ 方向特征值 $1 - 2|\bm{v}|^2$	$(\mathbf{H}')^2 = \mathbf{I}$	几何含义
$< 1/2$	$\in (0, 1)$	❌	沿 $\bm{v}$ 压缩，不翻转
$= 1/2$	$0$	❌	退化为投影（丢掉 $\bm{v}$ 分量，秩 $n-1$）
$\in (1/2, 1)$	$\in (-1, 0)$	❌	翻转 + 压缩
$= 1$	$-1$	✅	纯反射（Householder）
$> 1$	$< -1$	❌	翻转 + 放大

这张表就是 DeltaNet 那一族「广义 Householder」的全部动机：$\mathbf{I} - \beta\bm{k}\bm{k}^{\intercal}$ 里 $\bm{k}$ 已 L2 归一化、$\beta \in (0, 1)$，等价于把系数 2 换成 $\beta$，$\bm{k}$ 方向的特征值是 $1 - \beta \in (0, 1)$——故意落在表格第一行：它要的是可学习的部分擦除（partial erasure），而不是把旧信息原封不动翻过来。$\beta = 2$ 才退回严格 Householder，$\beta = 1$ 是完全擦除（投影）。所以「不可省」这句话准确的表述是：要正交/对合就必须归一化；DeltaNet 选择放弃正交，换来一个可控的收缩算子——收缩（$|\lambda| < 1$）恰好是状态能长期稳定不爆的原因。

1.5 几何意义

把任意 $\bm{x} \in \mathbb{R}^n$ 沿 $\bm{u}$ 正交分解：

$$\bm{x} = \bm{x}_{\parallel} + \bm{x}_{\perp}, \qquad \bm{x}_{\parallel} = (\bm{u}^{\intercal}\bm{x})\,\bm{u}, \qquad \bm{x}_{\perp} = \bm{x} - \bm{x}_{\parallel}$$

先验证这个分解是正交的：$\bm{u}^{\intercal}\bm{x}_{\perp} = \bm{u}^{\intercal}\bm{x} - (\bm{u}^{\intercal}\bm{x})(\bm{u}^{\intercal}\bm{u}) = \bm{u}^{\intercal}\bm{x} - \bm{u}^{\intercal}\bm{x} = 0$，所以 $\bm{x}_{\perp}$ 落在超平面 $\bm{u}^{\intercal}\bm{x} = 0$ 内（这里又用了一次 $\bm{u}^{\intercal}\bm{u} = 1$）。

分别作用：

$$\mathbf{H}\bm{x}_{\parallel} = \bm{x}_{\parallel} - 2\bm{u}\big(\bm{u}^{\intercal}\bm{x}_{\parallel}\big) = \bm{x}_{\parallel} - 2(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})\bm{u} = \bm{x}_{\parallel} - 2\bm{x}_{\parallel} = -\bm{x}_{\parallel}$$

$$\mathbf{H}\bm{x}_{\perp} = \bm{x}_{\perp} - 2\bm{u}\big(\bm{u}^{\intercal}\bm{x}_{\perp}\big) = \bm{x}_{\perp} - 2\bm{u}\cdot 0 = \bm{x}_{\perp}$$

由线性性合起来：

$$\mathbf{H}\bm{x} = \bm{x}_{\perp} - \bm{x}_{\parallel}$$

即 $\mathbf{H}\bm{x}$ 是 $\bm{x}$ 关于「过原点、法向为 $\bm{u}$ 的超平面」的镜像：垂直于镜面的分量取反，平行于镜面（躺在超平面内）的分量不动。$n = 2$ 时超平面退化为一条过原点的直线，图上就是标准的轴对称：

图里能直接读出三件事：$\|\mathbf{H}\bm{x}\| = \|\bm{x}\|$（等长）、$\bm{x}$ 与 $\mathbf{H}\bm{x}$ 到虚线超平面等距且连线垂直于超平面（镜像）、以及 $\bm{x} \mapsto \mathbf{H}\bm{x}$ 把定向翻了过来（对应 $\det \mathbf{H} = -1$）。

顺带解释「$\bm{u}$ 是法向量而非镜面内方向」为什么必须如此：如果 $\bm{u}$ 躺在镜面里，被翻转的就是镜面内的一个方向，那不是反射而是关于某个 $n-1$ 维超平面的其他变换。定义式 $\mathbf{H} = \mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal}$ 里 $-2\bm{u}\bm{u}^{\intercal}$ 只作用在 $\bm{u}$ 方向上，被特殊对待的那个方向就是被翻转的方向，所以它只能是法向。

1.6 特征值完整计算

特征值 $-1$：直接代入定义，

$$\mathbf{H}\bm{u} = \bm{u} - 2\bm{u}(\bm{u}^{\intercal}\bm{u}) = \bm{u} - 2\bm{u} = -\bm{u}$$

故 $\lambda_1 = -1$，特征向量 $\bm{u}$，代数重数与几何重数都是 1（其特征空间就是 $\operatorname{span}\{\bm{u}\}$，一维）。

特征值 $+1$：取任意 $\bm{x} \perp \bm{u}$，即 $\bm{u}^{\intercal}\bm{x} = 0$，

$$\mathbf{H}\bm{x} = \bm{x} - 2\bm{u}(\bm{u}^{\intercal}\bm{x}) = \bm{x}$$

故 $\lambda = +1$，特征空间为 $\bm{u}^{\perp}$，维数 $n - 1$，即重数 $n-1$。

完整性检查：$\operatorname{span}\{\bm{u}\} \oplus \bm{u}^{\perp} = \mathbb{R}^n$，$1 + (n-1) = n$，特征向量已张满全空间，不存在其他特征值。谱写成

$$\lambda(\mathbf{H}) = \{-1,\; \underbrace{+1, \cdots, +1}_{n-1}\}$$

也就是说 $\mathbf{H}$ 在正交基下的对角化是 $\mathbf{H} = \mathbf{Q}\operatorname{diag}(-1, 1, \dots, 1)\mathbf{Q}^{\intercal}$，$\mathbf{Q}$ 的第一列取 $\bm{u}$。

两个不变量：

$$\det \mathbf{H} = \prod_i \lambda_i = (-1) \cdot 1^{\,n-1} = -1$$

$$\operatorname{tr} \mathbf{H} = \sum_i \lambda_i = -1 + (n-1) = n - 2$$

迹也能不经特征值直接验证：$\operatorname{tr}(\mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal}) = n - 2\operatorname{tr}(\bm{u}\bm{u}^{\intercal}) = n - 2\bm{u}^{\intercal}\bm{u} = n - 2$（用了 $\operatorname{tr}(\bm{a}\bm{b}^{\intercal}) = \bm{b}^{\intercal}\bm{a}$）。两条路径对上，说明谱算对了。

$\det \mathbf{H} = -1$ 是反射与旋转的分界线：

变换	正交？	$\det$	对合？	定向
旋转 $\mathbf{R} \in SO(n)$	✅	$+1$	❌（一般）	保持
Householder 反射 $\mathbf{H}$	✅	$-1$	✅	翻转
一般正交 $\mathbf{Q} \in O(n)$	✅	$\pm 1$	❌	视 $\det$

正交群 $O(n)$ 被 $\det$ 分成两个连通分支，$\det = +1$ 的是旋转（$SO(n)$），$\det = -1$ 的含反射。进一步的事实：任意 $\mathbf{Q} \in O(n)$ 最多能被 $n$ 个 Householder 反射的乘积表示（Cartan–Dieudonné 定理），偶数个反射的乘积是旋转（$\det$ 相乘为 $+1$），奇数个是反射。这是 Householder QR 的理论基础，也是「反射比旋转更基本」的原因。

一句话总结：$\mathbf{H} = \mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal}$ 的一切性质都锁在 $\bm{u}^{\intercal}\bm{u} = 1$ 这一个条件上——它让 $\bm{u}$ 方向的特征值精确等于 $-1$，于是同时得到正交、对合、$\det = -1$、保长度四个结论；把 2 换成可学习的 $\beta$、把 $-1$ 松弛为 $1 - \beta$，就从「刚性反射」变成 DeltaNet 需要的「可控擦除」。

1.7 数值验证

$n = 5$ 单位向量与 $n = 4$ 非单位向量各跑一遍，把 §1.2–§1.6 的每条结论对上机器精度：

import numpy as np

np.random.seed(0)
n = 5
u = np.random.randn(n)
u /= np.linalg.norm(u)               # 归一化：u^T u = 1
H = np.eye(n) - 2 * np.outer(u, u)

# §1.2 对称  §1.3 正交 + 对合
print(np.abs(H - H.T).max())                 # 0.0
print(np.abs(H.T @ H - np.eye(n)).max())     # 2.22e-16
print(np.abs(H @ H - np.eye(n)).max())       # 2.22e-16

# §1.3 保长度
x = np.random.randn(n)
print(np.linalg.norm(x), np.linalg.norm(H @ x))   # 1.4352331940 1.4352331940

# §1.5 分量行为：H x_par = -x_par, H x_perp = x_perp
x_par = (u @ x) * u
x_perp = x - x_par
print(np.abs(H @ x_par + x_par).max())       # 2.22e-16
print(np.abs(H @ x_perp - x_perp).max())     # 2.22e-16

# §1.6 谱 / det / tr
print(np.sort(np.linalg.eigvalsh(H)))        # [-1.  1.  1.  1.  1.]
print(np.linalg.det(H), np.trace(H))         # -1.0  3.0  (= n - 2)

# §1.4 反例：v 不归一化
np.random.seed(1)
v = np.random.randn(4)                       # ||v||^2 = 4.443
G = np.eye(4) - 2 * np.outer(v, v)
print(np.abs(G - G.T).max())                 # 0.0      ← 对称性仍成立
resid = np.eye(4) - 4 * (1 - v @ v) * np.outer(v, v)
print(np.abs(G @ G - resid).max())           # 3.55e-15 ← 残差公式吻合
print(1 - 2 * (v @ v), np.linalg.det(G))     # -7.8859  -7.8859 ← 特征值放大

# §1.1.1 算例：u = e1, x = [3, 2]^T 两条路径一致
u2 = np.array([1.0, 0.0]); x2 = np.array([3.0, 2.0])
H2 = np.eye(2) - 2 * np.outer(u2, u2)
print(u2 @ x2)                               # 3.0
print(x2 - 2 * (u2 @ x2) * u2, H2 @ x2)      # [-3. 2.] [-3. 2.]  ← 两条路一致
print(H2.tolist(), np.linalg.det(H2), np.trace(H2))  # [[-1,0],[0,1]] -1.0 0.0

实测数字（$n = 5$，seed 0）：对称误差 $0$，正交误差 $2.22 \times 10^{-16}$，$\det = -1.0$，$\operatorname{tr} = 3 = n - 2$，谱 $\{-1, 1, 1, 1, 1\}$；反例（$n = 4$，seed 1）$\|\bm{v}\|^2 = 4.443$，$\max|\mathbf{H}'^2 - \mathbf{I}| = 4.43$，$\bm{v}$ 方向特征值 $-7.886$；§1.1.1 算例（$n = 2$，$\bm{u} = \bm{e}_1$）两条路径均得 $[-3, 2]^{\intercal}$，$\mathbf{H} = \operatorname{diag}(-1, 1)$，$\operatorname{tr} = 0 = n - 2$。全部与推导一致。

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总结

1. 定义：$\mathbf{H} = \mathbf{I} - 2\bm{u}\bm{u}^{\intercal}$，$\|\bm{u}\| = 1$；只依赖 $\bm{u}$ 的方向，$\bm{u}$ 是反射超平面的法向量；算 $\mathbf{H}\bm{x}$ 用 $\bm{x} - 2(\bm{u}^{\intercal}\bm{x})\bm{u}$，$O(n)$ 而非 $O(n^2)$。矩阵形式本质上是把「反射两步走」靠 $\bm{u}^{\intercal}\bm{x}$ 是标量、可换序提出公因子 $\bm{x}$ 得到的（§1.1.1）。
2. 代数：对称（不依赖归一化）、正交、对合 $\mathbf{H}^{-1} = \mathbf{H} = \mathbf{H}^{\intercal}$、保长度保内积、条件数为 1。
3. 谱：$\{-1, 1^{n-1}\}$，$\det = -1$（翻转定向，与旋转 $\det = +1$ 分界），$\operatorname{tr} = n - 2$。
4. 归一化条件的作用：唯一支撑正交性的那一步；松掉它变成 $\mathbf{I} - 2\bm{v}\bm{v}^{\intercal}$，$\bm{v}$ 方向特征值滑到 $1 - 2\|\bm{v}\|^2$，$(\mathbf{H}')^2 = \mathbf{I} - 4(1 - \|\bm{v}\|^2)\bm{v}\bm{v}^{\intercal}$。

可迁移的启示：一个矩阵的全部行为往往被一个标量条件锁死。看懂 $\bm{u}^{\intercal}\bm{u} = 1$ 在证明里出现的位置，就同时看懂了「为什么 Householder 是刚性反射」和「为什么 DeltaNet 要故意放弃这个条件」——把 2 换成 $\beta$、把特征值从 $-1$ 松到 $1 - \beta \in (0,1)$，刚性反射就变成了可学习的部分擦除，而收缩性正是长序列状态不爆的保证。下一部分接着这条线，讲秩一修正的求逆（Sherman–Morrison）与秩一修正在 chunk 内累乘后如何塌缩成 WY 表示。

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参考：Householder, A. S., Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, JACM 1958；Golub & Van Loan, Matrix Computations (4th ed.) §5.1；DeltaNet / Gated DeltaNet（arXiv:2412.06464v3）§2.2、§3.1 与附录 A；本站《TileLang 实战：KDA 从零到一–Gated DeltaNet》。

本文公式均经 NumPy 数值验证，验证代码见 §1.7。